La notation simplifiée pour la limite d’une suite peut être elle ambigüe ?

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Bonjour,

D’après la page Wikipédia, la limite d’une suite peut être notée unau_n \to a quand il n’y a pas d’ambiguïté.

Comment peut-il y avoir une ambiguïté ? Par définition, une suite est une famille d’éléments de R\R (ou d’une partie de R\R) indexée par N\N, et sa limite est par définition sa limite en ++\infty.

Peut-il s’agir d’une ambiguïté où l’on ne serait pas en mesure de déterminer si par exemple unau_n \to a serait la définition d’une fonction ?

Ça peut sembler un détail, mais j’ai du mal à voir pourquoi les livres et les cours s’obstinent à utiliser une notation qui me semble si inutilement complexe.

Merci !

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Par définition, une suite est une famille d’éléments de R\mathbb{R} (ou d’une partie de R\mathbb{R})

Non, pas forcément des éléments de R\mathbb{R}, ça peut être à peu prêt n’importe quoi.

Ensuite, \rightarrow peut avoir plusieurs sens en fonction du contexte. Je pense notamment aux équations de réaction chimiques ou les dépendances fonctionnelles en algèbre relationnel.

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Salut,

Il y a différentes sources d’ambiguïté possibles.

Par exemple, l’expression de la suite pourrait être paramétrée. Imagine quelque chose comme un=knu_n = kn. On pourrait alors se questionner sur la limite de la suite (en faisant tendre nn vers l’infini par exemple) ou alors la limite de l’expression en faisant varier kk.

On peut aussi imaginer avoir des expressions qui sont des suites, mais où on remonte le temps et on s’intéresse à la limite en -\infty. Par exemple, avoir des expressions du genre 2n2^n, où nn est un entier quelconque.

La notation de la forme limxAu(x)\lim_{x \rightarrow A} u(x) est générale et sans ambiguïté. Elle est claire dans tous les cas que tu es amené à rencontrer, donc il n’est jamais risqué de s’en servir. C’est un avantage.

Ça peut dépendre du mode de limite, ce qui fait une grosse différence quand les éléments appartiennent (notamment) à des espaces de dimensions infinies

Il y a aussi une nuance sémantique, limun\lim u_n désigne un nombre (qui peut exister ou non), alors que unau_n\to a est une proposition (qui peut être vraie ou fausse)

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Autre source d’ambigüité possible qui peut venir en tête est celle même de la notion de convergence. Typiquement pour des suites d’objets de certaines natures (e.g. suite de fonctions ou de variables aléatoires), le symbole \rightarrow peut recouper des notions un peu différentes (et il est donc parfois besoin d’ajouter une précision sur ce à quoi il renvoie). Par exemple, si tu regardes sur cette page qui parle de convergence de suites de variables aléatoire, tu peux voir toute une liste de propositions qui n’auraient vite aucun sens si on ne faisait pas attention à préciser ce à quoi renvoie “\rightarrow” en ajoutant des indices / superscripts.

Je ne rentre pas dans les détails, mais c’était juste un autre exemple d’ambigüité qui m’est venu en tête. :)

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Merci pour les détails.

Si j’ai bien compris, on ne peut utiliser cette notation que pour une suite définie explicitement comme une famille d’éléments de R\R indexée par N\N, et dans ce cas-là la notation intermédiaire limu\lim u paraît meilleure. Je préfère cette notation pour mes cours car elle me paraît plus facile à lire et à retenir, mais j’utilise la notation complète dans mes exercices.

Aabu, quand tu parles de la limite de l’expression knkn en faisant varier kk, est-ce qu’il s’agit d’étudier la limite de l’expression knkn pour tout entier nn quand kk tend vers ++\infty ?

Je ne suis pas sûr que tu aies bien vu la différence. Ce ne sont pas deux notations pour la même chose. Elles représentent deux choses différentes.

Disons pour se mettre d’accord que unRu_n\in \mathbf R, ce qui semble être le cas qui t’intéresse.

La notation unau_n\to a est une proposition qui se traduit par :

ϵ>0η>0(nη    una< ϵ)\forall \epsilon>0 \exists \eta>0 (n\geq \eta\implies |u_n-a|< \epsilon)

Lorsque cette proposition est vraie, alors on désigne par limun\lim u_n le nombre aa. Donc limun\lim u_n est un nombre, qui vaut ici aa, et qui ne fait sens que lorsque la limite existe (un nombre aa existe tel que unau_n\to a).

La différence entre unau_n\to a et limun\lim u_n se voit à plusieurs niveaux :

  • unau_n \to a dépend d’une notion de convergence, ici c’est notamment le terme "una|u_n-a|" dans la proposition qui pourrait varier dans d’autres circonstances ;
  • de façon similaire, le nombre limun\lim u_n dépend du sens qu’on met à unau_n \to a ;
  • unau_n \to a est une proposition qui peut être vraie ou fausse, mais limun\lim u_n peut ne pas faire sens du tout (par exemple lim(1)n\lim (-1)^n ne fait pas sens) ;
  • limun\lim u_n est un nombre qui se manipule donc … comme un nombre : on peut écrire 1+limun1 +\lim u_n mais pas 1+una1 + u_n\to a.
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J’ai bien saisi le fait que limun\lim u_n désigne soit un réel, soit ++\infty soit -\infty et que sa signification change en fonction de ce dernier.

En disant que limun\lim u_n et unau_n \to a étaient des notations équivalentes, je voulais dire que limun=a\lim u_n = a est équivalent à unau_n \to a, aa un élément de la droite réelle achevée.

Je pense que tu me dis que même ces deux propositions ne sont pas équivalentes. Je crois comprendre pourquoi : limun\lim u_n n’a pas de sens pour tous les unRNu_n \in \R^\N, donc la proposition aRˉ,limun=a\exists a \in \bar \R, \lim u_n = a n’est définie que pour les suites de RN\R^\N qui convergent vers un réel ou divergent vers un infini, alors que aRˉ,una\exists a \in \bar \R, u_n \to a est définie pour toutes les suites de RN\R^\N. C’est bien ça ?

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En disant que limun\lim u_n et unau_n \to a étaient des notations équivalentes, je voulais dire que limun=a\lim u_n = a est équivalent à unau_n \to a, aa un élément de la droite réelle achevée.

Loulimi

Pas tout à fait, justement.

En fait, limun\lim u_n n’est pas une assertion : ça n’est ni vrai ni faux. Soit c’est un élément de R\overline \mathbb R, soit ça n’a pas de sens. La notation limun\lim u_n désigne la valeur de la limite, lorsqu’elle existe. Si la suite n’a pas de limite, la notation n’a aucun sens et on ne l’utilise pas.

Alors que « aR,una\exists a\in\overline\mathbb R, u_n \to a » est une assertion, susceptible d’être vraie ou fausse. Cette assertion est équivalente (au moins dans le cas d’une suite convergente dans R\mathbb R), comme le mentionnait @Holosmos, à :

ε>0,η>0,nN,nηunaε\forall \varepsilon>0, \exists\eta>0, \forall n\in\mathbb N, n\ge\eta\Rightarrow |u_n-a|\le\varepsilon.

Lorsqu’elle est vraie, et uniquement dans ce cas, on note limun\lim u_n la valeur du nombre réel aa. Et alors, on peut écrire limun=a\lim u_n=a, qui est une assertion vraie équivalente à unau_n\to a. On opère de manière analogue, évidemment, pour les suites ayant une limite infinie.

Merci ! Je crois comprendre : La notation limun\lim{u_n} n’est donc définie que pour une suite ayant une limite.

La notation unlu_n \to l elle est définie pour toute suite (réelle, voire complexe si lCl \in \mathbb C), et selon qu’elle soit vraie ou non permet de définir le terme limun\lim{u_n}.

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